Computergrafik
Bezier Curves
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Basisfunktionen $B_n(x)$ nicht Monome $x^n$
Bezier: Bernstein Polynom
$B_i^n(t) = \left( \begin{array}{c} i \\ n \end{array} \right) (1-t)^{n-i} t^i$
mit Binomialkoeffizient $\left( \begin{array}{c} i \\ n \end{array} \right) = \frac{n!}{i!(n-i)!}$
Kontrollpunkte $c_i$ definieren das Kontrollpolygon einer Bezierkurve vom Grad n
Kurve: $F(t) = \sum_{i=0}^n c_i B_i^n(t), \quad t\in[0,1]$
wikipedia.org
Eigenschaften:
- Die Kurve liegt innerhalb der konvexen HĂĽlle des Kontrollpolygons
- Die Bernsteinpolynome vom Grad n sind eine Zerlegung der 1: $\sum_{i=0}^n B_i^n(t) = 1$
- Die Kurve geht durch den ersten und letzten Kontrollpunkt
- Die Tangente am Beginn und Ende der Kurve zeigt auf den zweiten und zweitletzten Kontrollpunkt
Beispiel kubische Bezierkurve:
$ C(t) = \sum_{i=0}^3 \left( \begin{array}{c} i \\ 3 \end{array} \right) t^i (1-t)^{3-i} P_i = $
$ = (1-t)^3P_0+3t(1-t)^2P_1+3t^2(1-t)P_2+t^3P_3 = $
$ = (-P_0 + 3P_1 -3P_2 + P_3) t^3 + (3P_0 - 6P_1 + 3P_2) t^2 + (-3P_0 + 3P_1) t + P_0$
$t \in [0,1]$
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