C-Uebung

Integration, eine Ãœbung zum Thema Numerik (Zusatzaufgabe)

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Das bestimmte Integral einer Funktion $f(x)$ im Bereich $I=[a,b]$ entspricht der Fläche unter der Funktionskurve.

Zur Berechnung eines bestimmten Integrals verwendet man die Stammfunktion $F(x)$ mit $F(x)'=f(x)$:

$ \displaystyle{ \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a) } $

Siehe auch den Online-Integrator von Mathematica.

Falls die Stammfunktion nicht bekannt ist oder analytisch nicht bestimmt werden kann, so nähert man das bestimmte Integral, d.h. die Integralfläche, numerisch an.

Dazu wird die Fläche in eine Anzahl von $n$ Streifen unterteilt. Je schmäler die Streifen, umso genauer das Ergebnis.

$ \displaystyle{ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}n \cdot \sum_{i=1}^n f\left(a+\frac{i-0.5}n(b-a) \right) } $

Schreiben Sie eine Integrator-Funktion, welche eine beliebige mathematische Funktion (als Funktionszeiger) in einem Intervall mit $n$ Streifen durch Summation der Streifenflächen numerisch integriert.

Q Testen Sie die numerische Integration anhand der Normalverteilungsfunktion:

$ \displaystyle{ \Phi(x) = \int_{-\infty}^x \phi(t) dt, \quad \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}x^2} } $
Testen Sie die Hypothese $ \displaystyle{ \Phi(\infty) = 1 } $ für n=1000000 Integrationsschritte und einen hinreichend großen Integrationsbereich von $ [-1000,1000] $ der Normalverteilungsfunktion.

Q Vergleichen Sie die Ergebnisse bei Verwendung von float bzw. double Rechengenauigkeit.


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