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Projektionsmatrix

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Simulation der perspektivischen Projektion als 4×4 Matrix:

  • Projektion ist
    • zuerst $*n$
    • gefolgt von $*\frac{1}{-p_z}$
  • Multiplikation mit $n$ entspricht uniformer Skalierungsmatrix S.
$ S = \left( \begin{array}{c c c c} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $
  • Zusätzlich wird eine perspektivische Division durch $-z$ benötigt. Dies wird durch die homogene Koordinate $w=-z$ erreicht. Bei der Dehomogenisierung wird durch $w$ geteilt, also durch $-z$. Daraus ergibt sich das −1 Element in folgender Projektionsmatrix P:
$ P = \left( \begin{array}{c c c c} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right) $

Normalisierte Projektionsmatrix:

  • Normalisierung der x- und y-Koordinaten ($*\frac{2}{w}$ bzw. $*\frac{2}{h}$)
  • mit $ w = r−l = 2 \cdot tan(\mbox{fovy}/2) \cdot \mbox{aspect} $
    und $ h = t−b = 2 \cdot tan(\mbox{fovy}/2) $
  • Tiefe z soll erhalten bleiben
    • Z-Werte im Bereich [-near,-far] werden auf [−1,1] normalisiert
    • Z-Puffer? Algorithmus kann Ãœberdeckung entscheiden
$ M_P = \left( \begin{array}{c c c c} \frac{2n}w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2n}h & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{n+f}{f-n} & -2\frac{fn}{f-n} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array} \right) $

Die normalisierte Projektionsmatrix bildet das pyramidenförmige View-Frustum auf die sog. Clip-Koordinaten ab. Diese umfassen einen sichtbaren Würfel im Bereich der Koordinaten von −1 bis 1. Alles außerhalb dieses Würfels ist unsichtbar und wird geclippt.

Hinweis: Für die uniforme Projektionsmatrix ist $w=h=2$.

Berechnung via GLM bzw. LGL:

Perspektivische Projektion:

float fovy = 60;
float aspect = (float)width() / height();
float near = 1;
float far = 100;

mat4 P = mat4::perspective(fovy, aspect, near, far);
[Get Code]

Sonderfall orthographische Projektion / Parallelprojektion:

float aspect = (float)width() / height();
mat4 P = mat4::ortho(-aspect, aspect, -1.0, 1.0, -1.0, 1.0);
[Get Code]


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