Computergrafik

Flächen

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Eine Fläche [in einem kartesischen Koordinatensystem] ist definiert durch einen Aufsatzpunkt $\vec{P}$ und zwei Richtungsvektoren $\vec{d}_1$ und $\vec{d}_2$, welche die Fläche aufspannen. Die Punkte $\vec{x}(s,t)$ auf der Fläche ergeben sich dann über die Parametrisierung mit s und t:

$\vec{x}(s,t)=\vec{P}+s\vec{d_1}+t\vec{d_2}$

Dies ist die explizite Darstellung der Fläche.

Die Flächennormale $\vec{n}$ ist $\vec{d}_1\times\vec{d}_2$.

Hesse Normalform mit normiertem Normalenvektor $|\vec{n}| = 1$:

$\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{P}) = 0$

Anschaulich: Der Abstand eines Punktes $\vec{v}$ von der Fläche ist $(\vec{v}-\vec{P}) \cdot \vec{n}'$ mit $\vec{n}'=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$ (normiert). Alle Punkte mit Abstand Null liegen in der Fläche.

Die implizite Darstellung der Fläche ergibt sich durch Setzen des Flächenabstandes zu Null:

$(\vec{v}-\vec{P}) \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=0$
$(\vec{v}-\vec{P}) \cdot \vec{n}=0$

Durch Ausmultiplizieren ergibt sich eine implizite Geradengleichung mit Normalenvektor $\vec{n} = (a, b, c)^T$:

$ax+by+cz = d$

Mit:

  • $a = \vec{n_x}$
  • $b = \vec{n_y}$
  • $c = \vec{n_z}$
  • $d = \vec{n}\cdot\vec{P}$


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