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Berechnung der Lichtverteilung auf Oberflächen (Radiosity):

• Ziel: Berechnung der Lichtverteilung in einer 3D-Szene, inklusive indirekter Beleuchtung durch Reflexionen zwischen Oberflächen.
• Grundlagen:
  • Jede Oberfläche in der Szene hat eine bestimmte Helligkeit, die durch den Intensitätsvektor $\vec{I}$ dargestellt wird.
  • Oberflächen können auch selbst Licht abstrahlen, z.B. als Lichtquelle, beschrieben durch den Emissionsvektor $\vec{E}$.
  • Der Lichttransport zwischen den Oberflächen wird durch die Matrix $M$ beschrieben.
    • Jeder Eintrag $M_{ij}$ gibt an, wie viel Licht von Oberfläche $i$ zu Oberfläche $j$ gelangt.
    • $M_{ij} = F_{ij} \cdot \rho_{ij}$, wobei:
      • $F_{ij}$ der Formfaktor ist, der beschreibt, wie gut sich die Oberflächen “sehen” (abhängig von Geometrie und Abstand).
      • $\rho_{ij}$ die diffuse Reflektivität ist, die beschreibt, wie stark die Oberfläche Licht reflektiert.
• Lichtverteilungsgleichung:
  • Die Helligkeit jeder Oberfläche wird durch die folgende Gleichung berechnet:
    • $ \vec{I}' = \vec{E} + M \cdot \vec{I} $
    • Das bedeutet: Die neue Intensität $\vec{I}'$ einer Oberfläche ist die Summe aus dem von der Oberfläche emittierten Licht ($\vec{E}$) und dem von anderen Oberflächen reflektierten Licht ($M \cdot \vec{I}$).
• Strahlungsgleichgewicht:
  • Um die endgĂĽltige Helligkeit der Oberflächen zu berechnen, wird das Gleichgewicht des Lichts in der Szene bestimmt, beim dem $\vec{I}'$ gleich $\vec{I}$ ist:
    • $ \vec{I_0} = \vec{E} + M \cdot \vec{I_0} $
  • Diese Gleichung zeigt, dass die Lichtintensitäten $\vec{I_0}$ den stabilen Zustand darstellen, wenn das Licht lange genug zwischen den Oberflächen hin und her reflektiert wurde.
• Lösung der Gleichung:
  • Um $\vec{I_0}$ direkt zu berechnen, stellt man zunächst um:
    • $(1 - M) \cdot \vec{I_0} = \vec{E}$
  • Und erhält nach der Inversion folgende Formel:
    • $ \vec{I_0} = \vec{E} \cdot (1 - M)^{-1} $
  • Das Ergebnis $\vec{I_0}$ ist die endgĂĽltige Helligkeit der Oberflächen in der Szene, wenn alle Lichtreflexionen berĂĽcksichtigt sind.
• Ergebnis:
  • $\vec{I_0}$ repräsentiert die Helligkeit jeder Oberfläche in einer global diffus beleuchteten Szene.
  • Diese Methode wird verwendet, um realistische Beleuchtungseffekte in 3D-Szenen zu erzeugen, insbesondere wenn Licht indirekt von Wänden, Böden und Objekten reflektiert wird.
• Praxis:
  • In der Praxis ist die Invertierung von $(1 - M)$ mit dem Standard-Verfahren wie Gauss-Seidel ($O(n^3)$) zu teuer.
  • Man verwendet daher iterative Näherungsverfahren (Stichwort: Shooting and Gathering).

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